Исследовательская работа по теме «Невозможные фигуры». Картины невозможные


оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера

Бостонская публичная библиотека опубликовала онлайн оцифрованные произведения нидерландского художника-графика и ярчайшего представителя имп-арта.

Мауриц Корнелис Эшер (1898-1972) – один из самых выдающихся художников-графиков в мире. Прежде всего известен изображениями с невозможными фигурами, невозможной архитектурой, невозможной реальностью. Его произведения можно увидеть на многих веб-сайтах в интернете и в различных художественных произведениях. Литография «Относительность» присутствует в фильме «Лабиринт» в одной из комнат Города Гоблинов.

В своих работах Эшер исследовал понятия бесконечности и симметрии, экспериментировал с архитектурой, перспективой и невозможными пространствами. Хотя в годы, которые он провёл в Италии, мастер создал ряд замечательных реалистичных работ. Например, литография «Кастровальва», на которой изображено селение на вершине крутого холма.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 11«Кастровальва», Абруццо, 1930 год.

В 50-х и 60-х годах творчество Эшера вызвало интерес среди учёных и математиков. Он говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». Он переписывался с учёными, читал научные статьи и включал их идеи в свои работы. Картину «Спускаясь и поднимаясь» Эшер создал под влиянием эффекта «лестницы Пенроуза», о котором прочитал в статье Лайонела Пенроуза и Роджера Пенроуза.

Работы Эшера продолжают изумлять миллионы людей во всём мире. В них угадывается его способность к проницательному наблюдению за окружающим миром и выражению собственных фантазий. Мауриц Эшер показывает зрителям, что реальность удивительна, постижима и увлекательна.

88 оцифрованных литографий и гравюр Маурица Эшера в высоком разрешении предоставила Бостонская публичная библиотека, отсканировав свою коллекцию и сделав её доступной для интернет-пользователей. Работы опубликованы на сайте некоммерческой организации Digital Commonwealth. Их можно увеличивать и рассматривать в мельчайших деталях.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 3«Узы единства», апрель 1956 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 1«День и ночь», февраль 1938 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 17«Солнце и луна», апрель 1948 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 18«Предел-квадрат», апрель 1964 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 19«Четырёхгранный астероид», апрель 1954 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 14«Дорога жизни I», март 1958 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 15«Выставка гравюр», май 1956 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 5«Внутри собора Святого Петра», март 1935 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 10«Натюрморт и улица», март 1937 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 7«Мозаика II», июль 1957 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 8«Небо и вода», июнь 1938 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 2«Спускаясь и поднимаясь», март 1960 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 4«Ад» (копия картины Иеронима Босха), ноябрь 1935 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 9«Автопортрет в сферическом зеркале», апрель 1950 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 12«Пятый день сотворения», февраль 1926 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 13«Другой мир», январь 1947 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 16«Звёзды», октябрь 1948 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 21«Балкон», июль 1945 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 22«Бельведер», май 1958 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 6 2«Относительность», июль 1953 года.

Оптические иллюзии Маурица Эшера 20 2«Водопад», октябрь 1961 года.

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 1

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 2

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 3

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 4

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 5

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 6

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 7

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 8

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 9

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 10

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 11

Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера 12

Смотрите также:

Facebook

Вконтакте

Twitter

Google+

Pinterest

Одноклассники

cameralabs.org

Невозможные фигуры / Newtonew: новости сетевого образования

На первый взгляд кажется, что невозможные фигуры могут существовать только на плоскости. На самом деле невероятные фигуры могут воплощаться в трёхмерном пространстве, однако для «того самого эффекта» смотреть на них нужно с определённой точки.

Вот, например, скульптура «невозможного треугольника» в Австралии: все его углы равны 90 градусам, чего с треугольниками в обычном мире не случается. Однако с другой точки скульптура выглядит таким образом.

Искажённая перспектива — частое явление в старинной живописи. Где-то это было обусловлено неумением художников выстраивать изображение, где-то — признаком равнодушия к реализму, которому предпочитали символизм. Материальный мир был отчасти реабилитирован в Возрождение. Мастера Ренессанса начали исследовать перспективу и открыли для себя игры с пространством.

Одно из изображений невозможной фигуры относится к XVI веку — на картине Питера Брейгеля Старшего «Сорока на виселице» та самая виселица выглядит подозрительно.

Питер Брейгель Старший, «Сорока на виселице».

Источник: Wikipedia

Большая слава пришла к невозможным фигурам ХХ веке. Шведский художник Оскар Рутесвард в 1934 году нарисовал составленный из кубов треугольник «Opus 1», а несколькими годами позже — «Opus 2B», в котором количество кубов уменьшилось. Сам художник отмечает, что самым ценным в разработке фигур, которую он предпринял ещё в школьные годы, следует считать не создание самих рисунков, а способность понять, что нарисованное парадоксально и противоречит законам евклидовой геометрии.

Моя первая невозможная фигура появилась случайно, когда я в 1934 году в последнем классе гимназии на уроке «чиркал» в учебнике латинской грамматики, рисуя в нем геометрические фигуры.

— Оскар Рутесвард«Невозможные фигуры»

 

В 50-х годах ХХ века вышла статья британского математика Роджера Пенроуза, посвящённая особенностям восприятия пространственных форм, изображённых на плоскости. Статья была опубликована в «Британском журнале психологии», что многое говорит о сущности невозможных фигур. Главное в них — даже не парадоксальная геометрия, а то, как наш разум воспринимает такие явления. Как правило, требуется несколько секунд, чтобы понять, что именно «не так» не так с фигурой.

Благодаря Рождеру Пенроузу на эти фигуры взглянули с точки зрения науки, как на объекты с особыми топологическими характеристиками. Австралийская скульптура, речь о которой шла выше, представляет собой как раз невозможный треугольник Пенроуза, в котором все составляющие реальны, однако в целостность, которая может существовать в трёхмерном мире, картинка не складывается. Треугольник Пенроуза вводит в заблуждение с помощью ложной перспективы.

Загадочные фигуры стали источником вдохновения и для физиков с математиками, и для художников. Вдохновившись статьёй Пенроуза, график Мауриц Эшер создал несколько литографий, которые принесли ему известность художника-иллюзиониста, и впоследствии продолжил экспериментировать с пространственными искажениями на плоскости.

Имп-арт (impossible art) или импоссибилизм — направление в искусстве, в основе которого лежит создание оптических иллюзий и невозможных фигур.

В ХХ веке философия, живопись, литература обратились к уникальным и неповторимым переживаниям субъекта. Главным предметом интереса стали не действия и явления как таковые, а их восприятие, отражение в сознании. Неудивительно, что невозможная геометрия, которая прежде воспринималась как ошибка или курьёз, теперь стала самостоятельным художественным методом.

Вот ещё несколько известных фигур-парадоксов, которые до сих пор продолжают расшатывать разум зрителей.

Модель фигуры была разработана Рождером Пенроузом и его отцом Лайонелом Пенроузом. Изображённая ими лестница делает поворот на 90 градусов и замыкается, так то человек, если бы ему вздумалось по ней взойти, не смог бы подняться выше. На рисунке ниже видно, что собака и человек стоят на одном уровне, что тоже добавляет рисунку невозможности. Если персонажи пойдут по часовой стрелке, то будут постоянно спускаться, а если против часовой — подниматься.

Ранее такую лестницу изображал Оскар Рутесвард, о чём Пенроузы не знали, а Мауриц Эшер популяризировал образ «сумасшедшей лестницы» в искусстве, создав знаменитую работу «Относительность». 

Читайте также: Тайны нашего зрения

Невозможный трезубец, бливет или даже, как его ещё называют, «вилка дьявола», представляет собой фигуру с тремя круглыми зубцами на одном конце и прямоугольными — на другом. Выходит, что объект вполне нормален в правой и левой части, а вот в комплексе получается форменное безумие.

Такой эффект достигается за счет того, что трудно однозначно сказать, где тут передний план, а где задний.

Невозможный куб (он же — «куб Эшера») появился на литографии Маурица Эшера «Бельведер».  Кажется, что самим существованием этот куб нарушает все основные геометрические законы. Разгадка, как и всегда с невозможными фигурами, довольно проста: человеческому глазу свойственно воспринимать двумерные изображения как трёхмерные объекты.

Между тем, в трёх измерениях невозможный куб выглядел бы таким образом и с определённой точки казался бы таким же, как рисунок выше.

Невозможные фигуры представляют большой интерес для психологов, когнитивистов и эволюционных биологов, помогая больше узнать о нашем зрении и пространственном мышлении. Сегодня компьютерные технологии, виртуальная реальность и проекции расширяют возможности, так что на противоречивые объекты можно взглянуть с новым интересом.

Кроме классических примеров, которые мы привели, существует множество других вариантов невозможных фигур, а художники и математики придумывают всё новые парадоксальные варианты. Скульпторы и архитекторы используют решения, которые могут показаться невероятными, хотя их вид зависит от направления взгляда зрителя (как Эшер и обещал — относительность!).

Чтобы попробовать себя в создании объёмных невозможностей, профессиональным архитектором быть не обязательно. Существуют оригами невозможных фигур — такое можно повторить дома, скачав заготовку.

Полезные ресурсы

  • Невозможный мир — ресурс на русском и английском с известными картинами, сотнями примеров невозможных фигур и программами для самостоятельного создания невероятного.
  • M.C. Escher — официальный сайт М.К. Эшера, основанный фондом MC Escher Company (английский и нидерландский языки).
  • Мауриц Корнелис Эшер — работы художника, статьи, биография (русский язык).

Оформление статьи: Невозможный куб в 3D Max. Рендеринг: Андрей Устюжанин.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

newtonew.com

30 крутых оптических иллюзий: взрыв мозга

Мы привыкли воспринимать окружающий нас мир как данность, поэтому не замечаем, как наш мозг обманывает своих же хозяев. Несовершенство нашего бинокулярного зрения, бессознательные ложные суждения, психологические стереотипы и прочие искажения мировосприятия служат поводом для возникновения оптических иллюзий. Их огромное множество, но мы постарались собрать для вас самые интересные, безумные и невероятные из них.

Невозможные фигуры

В свое время этот жанр графики получил такое широкое распространение, что даже получил собственное название – импоссибилизм. Каждая из таких фигур кажется вполне реальной на бумаге, но существовать в физическом мире попросту не может.

Невозможный трезубец

Классический бливет – пожалуй, самый яркий представитель оптических рисунков из категории «невозможные фигуры». Как ни пытайся, определить, где берет начало средний зубец, не получится.

Другой яркий пример – невозможный треугольник Пенроуза.

Он же в виде так называемой «бесконечной лестницы». А также «невозможный слон» Роджера Шепарда.

Комната Эймса

Вопросы оптических иллюзий интересовали Адельберта Эймса-младшего с раннего детства. Став офтальмологом, он не прекратил свои исследования восприятия глубины, результатом которых и стала знаменитая комната Эймса.
Как работает комната Эймса
В двух словах эффект комнаты Эймса можно передать так: кажется, что в левом и правом углу ее задней стены стоят два человека – карлик и великан. Разумеется, это оптический трюк, и на самом деле эти люди вполне обычного роста. В действительности помещение имеет вытянутую трапециевидную форму, но из-за ложной перспективы оно кажется нам прямоугольным. Левый угол сильнее удален от взора посетителей, чем правый, а потому стоящий там человек кажется таким маленьким.

Иллюзии движения

Эта категория оптических трюков представляет наибольший интерес для психологов. Большинство из них основано на тонкостях сочетания цветов, яркости объектов и их повторе. Все эти уловки вводят в заблуждение наше периферическое зрение, в результате чего механизм восприятия сбивается, сетчатка фиксирует изображение прерывисто, скачкообразно, и мозг активирует участки коры, отвечающие за распознавание движения.

Плывущая звезда

Сложно поверить, что эта картинка – не анимированный gif-формат, а обыкновенная оптическая иллюзия. Рисунок был создан японским художником Кая Нао в 2012 году. Ярко выраженная иллюзия движения достигается благодаря противоположенной направленности узоров в центре и по краям. Существует довольно много подобных иллюзий движения, то есть статических изображений, кажущихся подвижными. Например, знаменитый вращающийся круг. Или желтые стрелки на розовом фоне: при пристальном взгляде кажется, что они колышутся туда-сюда. Осторожно, это изображение может вызвать резь в глазах или головокружение у людей со слабым вестибулярным аппаратом. Честное слово, это обычная картинка, а не гифка! Психоделические спирали словно затягивают куда-то в полную странностей и чудес вселенную.

Иллюзии-перевертыши

Самый многочисленный и веселый жанр рисунков-иллюзий строится на перемене направления взгляда на графический объект. Самые простые рисунки-перевертыши нужно просто развернуть на 180 или 90 градусов. Две классические иллюзии-перевертыша: медсестра/старуха и красавица/уродина. Более высокохудожественная картинка с подвохом – при овороте на 90 градусов лягушка превращается в лошадь. Другие «двойные иллюзии» имеют более тонкую подоплеку.

Девушка / старуха

Одно из самых популярных двойственных изображений было опубликовано в 1915 году в карикатурном журнале «Puck». Подпись к рисунку гласила: «Моя жена и теща».

Старики / мексиканцы

Пожилая супружеская пара или поющие под гитару мексиканцы? Большая часть сперва видит стариков, и лишь потом их брови превращаются в сомбреро, а глаза – в лица. Авторство принадлежит мексиканскому художнику Октавио Окампо, создавшему немало картинок-иллюзий подобного характера.

Влюбленные /дельфины

Удивительно, но трактовка этой психологической иллюзии зависит от возраста человека. Как правило, резвящихся в воде дельфинов видят дети – их мозг, еще не знакомый с сексуальными взаимоотношениями и их символами, просто не вычленяет в этой композиции двух любовников. Люди постарше, напротив, сначала видят пару, а уж потом дельфинов. Список таких двойственных картинок можно продолжать бесконечно: На картинке выше большинство людей видят сперва лицо индейца, а уже затем переводят взгляд влево и различают силуэт в шубе. Изображение ниже обычно трактуется всеми как черная кошка, и только потом в ее контурах проступает мышь. Очень простая картинка-перевертыш – что-то подобное можно без труда сделать своими руками.

Иллюзии цвета и контраста

Увы, человеческий глаз несовершенен, и в своих оценках увиденного мы (сами того не замечая) часто опираемся на цветовое окружение и яркость фона объекта. Это ведет к очень интересным оптическим иллюзиям.

Серые квадраты

Оптические иллюзии цветов – одни из самых популярных видов обмана зрения. Да-да, квадраты A и B окрашены в один и тот же цвет. Такая уловка возможна благодаря особенностям работы нашего мозга. На квадрат B падает тень без резких границ. Благодаря более темному «окружению» и плавному градиенту тени кажется, что он значительно светлее квадрата A.

Зеленая спираль

На этой фотографии всего три цвета: розовый, оранжевый и зеленый. Не верите? Вот что получится, если заменить розовый и оранжевый на черный.

Платье бело-золотое или сине-черное?

Впрочем, основанные на восприятии цвета иллюзии не редкость. Взять к примеру хотя бы покорившее в 2015 году интернет бело-золотое или черно-синее платье. Какого же цвета на самом деле было это загадочное платье, и почему разные люди воспринимали его по-разному?

Разъяснение феномена платья очень простое: как и в случае с серыми квадратами, все зависит от несовершенной хроматической адаптации наших органов зрения. Как известно, сетчатка человека состоит из двух видов рецепторов: палочек и колбочек. Палочки лучше фиксируют свет, а колбочки – цвет. У каждого человека соотношение колбочек и палочек разное, поэтому определение цвета и формы объекта немного отличается в зависимости от доминирования того или иного вида рецепторов.

Те, кто увидел платье бело-золотистым, обратили внимание на ярко освещенный задний фон и решили, что платье находится в тени, а значит, белый цвет должен быть темнее обычного. Если же платье показалось вам сине-черным, значит, ваш глаз в первую очередь обратил внимание на основной цвет платья, который на этой фотографии действительно имеет синий оттенок. Затем ваш мозг рассудил, что золотистый оттенок – черный, посветлевший из-за направленных на платье лучей солнца и плохого качества фото.

В действительности платье было синее с черными кружевами. А вот другая фотография, поставившая в тупик миллионы пользователей, которые никак не могли решить, стена перед ними или же озеро.

Оптические иллюзии на видео

Балерина

Эта безумная оптическая иллюзия вводит в заблуждение: сложно определить, какая нога фигуры является опорной и, как следствие, понять, в какую сторону вращается балерина. Даже если вам это удалось, во время просмотра видео опорная нога может «меняться» и девушка словно начинает вращаться в другую сторону. Если вы без труда смогли зафиксировать направление движения балерины, это говорит о рациональном, практичном складе вашего ума. Если же балерина вращается в разные стороны, это значит, что у вас бурное, не всегда последовательное воображение. Вопреки распространенному мнению, на главенство правого или левого полушария это никак не влияет.

Лица-монстры

Если долго смотреть на крестик в центре, то периферическое зрение пугающе исказит лица знаменитостей.

Оптические иллюзии в дизайне

Обман зрения может стать эффектным подспорьем для тех, кто хочет придать изюминку своему жилищу. Очень часто в дизайне применяются «невозможные фигуры».

Казалось, что невозможный треугольник обречен остаться лишь иллюзией на бумаге. Но нет – дизайнерская студия из Валенсии увековечила его в виде эффектной минималистичной вазы.

Книжная полка, вдохновленная невозможным трезубцем. Автор – норвежский дизайнер Бьорн Бликстад. А вот стеллаж, вдохновленный одной из самых известных оптических иллюзий – параллельными прямыми Иоганна Цельнера. Все полки параллельны друг другу – иначе какой был бы толк от такого шкафа – но даже тем, кто давно приобрел такой стеллаж, сложно избавиться от впечатления наклонных линий. Тем же примером вдохновлялись и создатели «коврика Цельнера». Интерес для любителей необычных вещей представляет стул дизайна Криса Даффи. Кажется, что он опирается исключительно на передние ножки. Но рискнув сесть на него, вы поймете, что тень, отбрасываемая стулом, и является его основной опорой.

uznayvse.ru

Картины невозможного: kovlam

Уважаемые френды, мы много внимания уделяли картинам, авторы которых изображали известную им реальность. Сегодня мы с Вами познакомимся с картинами, в которых художники изображали то, что они ощущали интуитивно. Эту реальность никто никогда, не только невидел, но и никогда не увидит сегодня мы увидим произведения американского инженера-программисат Josh Sommers:

Соединив аналитический ум и образное мышление, американский инженер-программист Josh Sommers создает нереальное.

невозможные фигуры, которые выполнены в технике иллюзий:

Эти картины можно отнести ккартинам демонстрирующих наши Иллюзии. Далее мы покажем картины выполненные в технике Интуитивная графика

kovlam.livejournal.com

Невозможные фигуры

Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск" (1960) и "Водопад" (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса .

Иштван Орос "Перекрестки" (1999). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Лента Мебиуса

Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946), "Лента Мебиуса II (Красные мурвьи)" (1963) и "Узлы" (1965).

«Узлы» - Мауриц Корнелис Эшер 1965 год

Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз, использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре.

Искаженные и необычные перспективы

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу" (1947), "Дом лестниц" (1951) и "Картинная галерея" (1956). Дик Термес использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.

Дик Термес "Клетка для человека" (1978). Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Слово анаморфный (anamorthic) сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под углом. Известный премер - картина Ханса Хольбейна (Hans Holbein) "Послы" ("The Ambassadors") (1533), в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой" (1935). Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.

Иштван Орос "Колодец" (1998). Картина "Колодец" полученая печаться с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулся по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани (Atrani) на побережье Амалфи (Amalfi) в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.

studfiles.net

Исследовательская работа по теме «Невозможные фигуры»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №1»

 

Исследовательская работа по теме

«Невозможные фигуры»

Выполнил: Слинчук Данил ученик 6Б класса

Руководитель: учитель математики

Казьменко Елена Александровна

Воронеж

2017 г

 

Содержание

Введение 3

1. Определение невозможных фигур 4

2. Виды невозможных фигур 8

2.1. Удивительный треугольник – трибар 8

2.2. Бесконечная лестница 9

2.3. Космическая вилка 11

2.4. Невозможные ящики 12

3. Применение невозможных фигур 13

3.1. Невозможные фигуры в иконописи 13

3.2. Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре 15

3.3.Невозможные фигуры в живописи 16

3.4.Невозможные фигуры в филателистке 18

3.5.Невозможные фигуры в оформительском искусстве 19

3.6.Невозможные фигуры в мультипликации 20

3.7.Невозможные фигуры в логотипах и символике 21

4. Создание невозможных фигур 22

Заключение 24

Список литературы 25

 

Введение

Невозможные фигуры известны чуть ли не со времен наскальной живописи, их систематическое изучение началось лишь в середине XX века, то есть практически на наших глазах, а до этого математики отмахивались от них как от досадного недоразумения.

В 1934 году Оскар Реутерсвард (Oscar Reutersvard) случайно создал свою первую невозможную фигуру - треугольник, составленный из девяти кубиков, но вместо того, чтобы что-то исправить, принялся создавать другие невозможные фигуры одну за другой.

Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура» - это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Несмотря на значительное количество публикаций о невозможных фигурах их четкого определения по существу не сформулировано. Можно прочесть, что к невозможным фигурам относятся все оптические иллюзии, связанные с особенностями нашего восприятия мира. С другой стороны человек может показать Вам фигуру человека зеленого цвета или с десятью руками и пятью головами и сказать, что все это невозможные фигуры. При этом он будет по своему прав. Ведь людей зеленого цвета с десятью ногами не бывает. Мы под невозможными фигурами будем понимать плоские изображения фигур воспринимаемые человеком однозначно, как они нарисованы без восприятия человеком каких бы то ни было дополнительных, фактически не нарисованных изображений или искажений и которые не возможно представить в трехмерном виде. Невозможность представления в трехмерном виде понимается, конечно, только непосредственная без учета возможности применения специальных средств при изготовлении невозможных фигур, т. к. всегда невозможную фигуру можно изготовить, применив хитроумную систему прорезей, дополнительных поддерживающих элементов и изгибания элементов фигуры, а затем сфотографировав ее под нужным углом

Передо мной встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цель проекта:

1.Выяснить, как создаются невозможные фигуры и где их применяют.

Задачи проекта:

1.Изучить литературу по теме «Невозможные фигуры».

2.Составить классификацию невозможных фигур.

3.Рассмотреть способы построения невозможных фигур.

4.Создать невозможную фигуру.

Тема моей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

  1. Определение невозможных фигур

До сих пор не существует чёткого определения невозможных фигур. Мною было найдено несколько различных подходов к определению этого понятия.

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры[1].

Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.

Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.

Как правило, чтобы трехмерная модель невозможной фигуры выглядела невозможной, она должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности.

Необходимо прояснить различие между терминами «невозможная фигура», «невозможный объект» и «трехмерная модель». Трехмерная модель – это физически представимый объект, при рассмотрении которого в пространстве становятся видимыми все щели и изгибы, которые уничтожают иллюзию невозможности и данная модель теряет свое «волшебство». При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура. Эта невозможная фигура (в отличие от трехмерной модели), создает впечатление невозможного объекта, который может существовать только в воображении человека, но не в пространстве.

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах - в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других - с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

Мы привыкли верить фотографиям (и несколько в меньшей степени - чертежам и рисункам), наивно полагая, что они всегда соответствуют какой-то действительности (реальной или вымышленной). Примером первой является параллелепипед, второй - эльф или другой сказочный зверь. Отсутствие эльфов в наблюдаемой нами области пространства/времени еще не означает, что они не могут существовать. Еще как могут (в чем легко убедиться с помощью гипса, пластилина или папье-маше). А вот как нарисовать то, чего вообще не может быть?! Что вообще нельзя сконструировать?!

Существует огромный класс так называемых "невозможных фигур", ошибочно или умышленно нарисованных с ошибками передачи перспективы, в результате чего возникают забавные визуальные эффекты, помогающие психологам разобраться с принципами работы (под)сознания.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой "приходится" додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями [2].

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована «Мадонна с младенцем» (рис.1). На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Рисунок 1. «Мадонна с младенцем»

В статье "Наведение порядка в невозможном" ( impossible.info/russian/articles/kulpa/putting-order.html ) [5] дается следующее определение невозможных фигур: "Невозможная фигура - это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного объекта таким образом, что объект, предложенный нашим пространственным восприятием, не может существовать, так что попытка создать его ведет к (геометрическим) противоречиям, ясно видимыми наблюдателем". Примерно то же самое пишут и Пенроузы в своей памятной статье: "Каждая отдельная часть фигуры выглядит нормальным трехмерным объектом, но вследствие неправильного соединения частей фигуры восприятие фигуры полностью приводит к иллюзорному эффекту невозможности", но никто из них не отвечает на вопрос: почему все это происходит?

Между тем все просто. Наше восприятие устроено так, что при обработке двухмерной фигуры, имеющей признаки перспективы (т.е. объемного пространства), мозг воспринимает ее как трехмерную, выбирая наиболее простой способ преобразования 2D в 3D, руководствуясь жизненным опытом, а как было показано выше, реальные прототипы "невозможных" фигур представляют собой довольно навороченные конструкции, с которыми наше подсознание незнакомо, но даже после знакомства с ними, мозг по-прежнему продолжает выбирать простейший (с его точки зрения) вариант преобразования и только после длительных тренировок подсознание наконец "въезжает в ситуацию" и кажущаяся ненормальность "невозможных фигур" исчезает.

Рассмотрим картину (да, да, именно картину, а не фотореалистичный рисунок, сгенерированный компьютером), нарисованную фламандским художником по имени Жос де Мей/Jos de Mey (рис.2). Вопрос - какой физической действительности она могла бы соответствовать?

На первый взгляд архитектурное сооружение кажется невозможным, но после секундной заминки сознание находит спасательный вариант: кирпичная кладка находится в плоскости, перпендикулярной наблюдателю и опирается на три колонны, вершины которых кажутся расположенными на равном расстоянии от кладки, но на самом деле пустое пространство просто "скрадывается" за счет "удачно" выбранной проекции. После того, как сознание "расшифровало" картину, она (и все подобные ей изображения) воспринимается совершенно нормально, и геометрические противоречия исчезают также незаметно, как и появляются.

Рисунок 2. Невозможная картина Жоса де Мея

Рассмотрим знаменитую картину Мориса Эшера/Maurits Escher "Водопад"/"Waterfall" (рис. 3) и ее упрощенную компьютерную модель (рис.4), выполненную в фотореалистичном стиле. На первый взгляд никаких парадоксов нет, перед нами обыкновенная картина, изображающая... чертеж вечного двигателя!!! Но ведь, как известно из школьного курса физики, вечный двигатель невозможен! Как же Эшеру удалось с такими подробностями изобразить то, чего в природе вообще не может быть?!

Рисунок 3. Вечный двигатель на гравюре "Водопад" Эшера.

Рисунок 4. Компьютерная модель вечного двигателя Эшера.

При попытке соорудить двигатель согласно чертежу (или при внимательном анализе последнего) "обман" всплывает сразу - в трехмерном пространстве такие конструкции геометрически противоречивы и могут существовать только на бумаге, то есть на плоскости, а иллюзия "объема" создается лишь за счет признаков перспективы (в данном случае - умышленно искаженных) и на уроке черчения за такой шедевр нам запросто влепят два балла, указав на ошибки выполнения проекции.

Виды невозможных фигур

    "Невозможные фигуры" делятся на 4 группы:

    1. Удивительный треугольник – трибар (рис.5).

      Рисунок 5. Трибар

      Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как "трехмерную прямоугольную структуру"[2]. Она также получила название "трибар". С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

      Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара (рис.6-9).

      Рисунок 6. Тройной деформированный трибар Рисунок 7. Треугольник из 12 кубов

      Рисунок 8. Крылатый трибар Рисунок 9. Тройное домино

      Знакомство с невозможными фигурами (особенно в исполнении Эшера), конечно, ошеломляет, но тот факт, что любую из невозможных фигур возможно сконструировать в реальном трехмерном мире, приводит в недоумение.

      Как известно, всякое двухмерное изображение представляет собой проекцию трехмерной фигуры на плоскость (лист бумаги). Способов проекции существует достаточно много, но в рамках каждого из них отображение выполняется однозначно, то есть существует строгое соответствие между трехмерной фигурой и ее двухмерным изображением. Однако аксонометрические, изометрические и другие популярные способы проекции являются однонаправленными преобразованиями, осуществляемыми с потерей информации и потому обратное преобразование может быть выполнено бесконечным множеством способов, то есть двухмерному изображению соответствует бесконечное множество трехмерных фигур и любой математик без труда докажет, что такое преобразование возможно для любого двухмерного изображения. То есть, на самом деле никаких невозможных фигур нет!

      А вот другое отображение от Матье Хемакерза. Возможных вариантов обратного отображения много (рис.10). Бесконечно много!

      Рисунок 10. Треугольник Пенроуза в различных ракурсах

      1. Бесконечная лестница

        Эту фигуру чаще всего называют "Бесконечной лестницей", "Вечной лестницей" или "Лестницей Пенроуза" – по имени ее создателя. Ее также называют "непрерывно восходящей и нисходящей тропой" (рис.11).

        Рисунок 11. Бесконечная лестница

        Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году [2]. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

        "Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии "Восхождение и нисхождение", созданной в 1960 году.

        Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

        Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.

        1. Космическая вилка

          Следующая группа фигур под общим названием "Космическая вилка". С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов (рис.12).

          Рисунок 12. Космическая вилка

          Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов".

          С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой". Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

          Рисунок 13. Башня с четырьмя колоннами-близнецами

          1. Невозможные ящики

            Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве"(рис.14).

            Рисунок 14. Невозможные ящики

            "Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "Невозможная коробка" (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера (рис.15).

            Рисунок 15. Куб Неккера

            Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

            Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

            Применение невозможных фигур

              Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" об использовании рисунков имп-арта для психотерапии [3]. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

              В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

              3.1. Невозможные фигуры в иконописи

              Христианство очень редко использовало модели несуществующих фигур, но их изображения часто встречаются на иконах и фресках. До нашего времени сохранилось не так уж и много моделей невозможных фигур в храмах. Самым известным из них является изображение невозможного треугольника расположенного на экране перед алтарем (рис.16). Он находится в церкви Святой Троицы, простроенной бенединскими монахами с 1150 по 1550 годы. Впоследствии она была разрушена, в 1869 году – восстановлена и перестроена.

               

              Рисунок 16. Фреска перед алтарем

              Изображения невозможных фигур встречается на иконах и фресках. Обычно это невозможная колоннада. Основание средней колонны удалено от зрителя. До сих пор исследователи не пришли к выводу о том, является такая конструкция замыслом художника или ошибкой.

              На иконе «Страшный суд» (ранний период) в верхнем регистре слева располагается изображение Небесного Иерусалима в виде города, обнесенного стенами с множеством башен и ворот (рис. 17).

              Рисунок 17. Икона «Страшный суд»

              Внутри него, за восемью престолами, представлены святые по чинам: апостолы, мученики, преподобные, отшельники (юродивые), пророки, святители, мученицы и преподобные жены. Постепенно это изображение всё больше стилизировалось и упрощалось. К середине XV века в верхнем регистре иконы уже находилась арка с невозможными перекрытиями. [2]

              Эти фрески были созданы Евгением Матько в Покровском храме в Воронежской области. На каждой из них можно видеть невозможные конструкции.

              Оформление часовни Рождества Богородицы возле деревни Ижевцы в Черновецкой области (Украина). На фресках изображено большое количество невозможных фигур, что является характерным приемом художника. В большинстве других примеров использования невозможных конструкций в иконописи появление невозможных конструкций связано, скорее, с ошибками художников, нежели осознанными намерениями.

              3.2.Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре

              За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

              В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник.

              Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру (рис. 18).

              Рисунок 18. Треугольник Пероуза в Австралии

              Но стоит изменить угол зрения, как треугольник из "невозможного" превращается в реальное и эстетически непривлекательное сооружение, не имеющее к треугольникам никакого отношения (рис.19).

              Рисунок 19. Так выглядит Треугольник Пенроуза с другой стороны

              В качестве примера невозможных фигур в архитектуре можно привести так называемые Кубические дома. Они были построены в 1984 году в Роттердаме (Нидерланды) архитектором Пиетом Бломом. Дома развернуты на угол в 45 градусов и расположены по шестиугольной сетке. Конструкция состоит из 32 кубов, соединенных друг с другом. Каждый кубический дом состоит из четырех этажей. На первом этаже – вход, на втором – кухня и гостиная, на третьем – спальня и ванная комната, на четвертом этаже часто устраивают оранжерею. Крыши домов, окрашенные в белый и серый цвета, при взгляде сбоку напоминают горные пики, покрытые снегом. Этот комплекс зданий обладает еще одним интересным свойством. С высоты птичьего полета здания образуют конструкцию, выглядящую как невозможная фигура.

              3.3.Невозможные фигуры в живописи

              В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм («невозможность») – изображение невозможных фигур, парадоксов. Интерес к импоссибилизму разгорелся к 1980 году. Этот термин был введен в обращение Тедди Бруниусом, профессором искусствоведения копенгагенского университета. Термин этот точно определяет то, что входит в это новое понятие: изображение предметов, которые кажутся реальными, но не могут существовать в физической реальности.

              Фрактальная геометрия изучает закономерности, проявляемые в структуре природных объектов, процессов и явлений, обладающих явно выраженной фрагментарностью, изломанностью и искривленностью.

              Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант optical art – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости.

              Наиболее известными представителями оп-арте являются Морис Эшер, венгерский художник Иштван Орос, фламандский художник Жос Де Мей, швейцарский художник Сандро дель Пре. Британский художник Джулиан Бивер – один из самых известных художников этого направления, который изображает свои шедевры не на бумаге, а на улицах города, стенах городских домов, где ими могут любоваться все.

               

              3.4.Невозможные фигуры в филателистке

              В 1982 году по заказу правительства Швеции Оскаром Реутерсвардом были выполнены марки с изображениями невозможных фигур (рис.20).

              Рисунок 20. Шведские марки с изображениями знаменитых фигур

              Марки выпускались ограниченным тиражом, сегодня они являются большой редкостью и пользуются большим спросом среди филателистов. В ближайшее время планируется очередной их тираж. Первая же из таких марок была посвящена математическому конгрессу в Инсбруке (Австрия), проходившему в 1981 году. За основу взят невозможный ящик Эшера (рис.21).

              Рисунок 22. Марка посвященная математическому крнгрессу

              3.5.Невозможные фигуры в оформительском искусстве

              Не редко невозможные фигуры используются для оформления обложек журналов.

              На обложке первого номера 2008 года журнала «Математика в школе» изображен коллаж из фрагментов картин бельгийского художника Жоса де Мея (рис.22).

              Рисунок 22. Журнал «Математика в школе»

              Здесь можно увидеть двух частых персонажей картин художника – сову и человека с кубом. Сова для бельгийцев является символом теоретических знаний, и в то же время прозвищем глупого человека. Человек с невозможным кубом является в свою очередь одним из героев литографии М.К. Эшера «Бельведер», которого позаимствовал де Мей для своих картин. Именно де Мей окрасил одежду этого персонажа в характерные голландские цвета. Также можно увидеть другие фрагменты из картин бельгийского художника – большую невозможную конструкцию, расписанную математическими формулами, а также табличку с магическим квадратом Дюрера.

              В оформлении обложек учебников по алгебре для 7 класса традиционно используются невозможные фигуры(рис.23).

              Рисунок 23. Учебник Алгебры

              3.6.Невозможные фигуры в мультипликации

              Интерес к невозможным фигурам отразился и в мультипликации и кинематографе.

              Кто в детстве не смотрел мультфильм «В синем море, в белой пене...», снятом на студии «Арменфильм» в 1984 году. В фильме рассказывается сказка о том, как маленький мальчик освобождает из кувшина Короля Моря, после чего тот похищает мальчика и утаскивает его на дно моря(рис.24).

              Рисунок 24. Кадр из мультфильма

              В начале мультфильма есть сцена, в которой присутствуют нарушения перспективы. В них Король Моря оперирует с объектами, находящимися от него на большом расстоянии так, как будто просто маленького размера и находятся рядом с ним.

              В современном популярном американском анимационном сериале Финес и Ферб, рассказывается о том, как проводят летние каникулы два сводных брата. Каждый день они затевают новый грандиозный проект (рис.25).

              Рисунок 25. Кадр из сериала

              В 35 эпизоде второго сезона «Фуфельная сторона Луны» братья строят самое высокое здание в мире, которое достигает луны. Одна из комнат здания повторяет Относительность Эшера.

              3.7.Невозможные фигуры в логотипах и символике

              На рисунке 26 изображен логотип французской автомобильной компании Renault. В 1972 году её символом стал невозможный четырёхугольник. Так же невозможный треугольник в своем логотипе использует мебельный магазин «Мебельные галлюцинации» (рис.27).

              Рисунок 26. Логотип компании Рено

              Рисунок 27. Логотип мебельного магазина

              На рисунке 28 приведен логотип кампании по производству и продажи окон.

              Рисунок 28. Логотип кампании «Русские Окна»

              Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. В наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

              Практическая часть 

              Создание невозможных фигур

                Как показал опрос моих одноклассников большинство ребят не знают о существовании невозможных фигур (Приложение 1), хотя многие машинально чертят геометрические фигуры, когда разговаривают по телефону, и легко изображали невозможные фигуры. Например, можно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой (рис.29).

                Рисунок 29. Простые чертежи невозможных фигур

                Я создал несколько невозможных фигур, чтобы более наглядно представить, как они могут существовать. Для этого я взял в сети интернет развертки для склеивания (Приложения 2,3 и 4). Развертку невозможного треугольника (трибара) распечатал на принтере. В результате получились фигура, на первый взгляд мало похожая на трибар (рис.30).

                Рисунок 30. Изготовленный трибар

                Сначала я подумал, что ошибся в изготовлении, но посмотрев на нее под определенным углом, все отлично получилось. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.

                На следующих рисунках 31 и 32 показаны более сложные фигуры, так же изготовленные мною.

                Рисунок 31. Невозможная фигура 1

                Рисунок 32. Невозможная фигура 2

                 

                Заключение

                Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ - что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так - то просто - он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

                Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного - все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

                Изучив литературу по теме, можно ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я понял, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создал модели Амес «Невозможного треугольника» и еще двух фигур. Мне удалось показать, что невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

                Невозможные фигур широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакатах, оформительском искусстве и логотипах различных фирм, найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

                Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного. Все это позволяет говорить об актуальности изучаемой темы.

                 

                Список литературы

                Левитин Карл Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984, -176 с.

                Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

                Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

                Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

                Интернет ресурсы:

                  http://wikipedia.tomsk.ru

                  http://www.konenko.net/imp.htm

                  http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/

                  xn--j1ahfl.xn--p1ai

                  НЕВОЗМОЖНАЯ РЕАЛЬНОСТЬ | Наука и жизнь

                  Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: "Что видим? Нечто странное"*. Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие "странные" рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением искусства, именуемого имп-артом.

                  Вильям Хогард. "Невозможная перспектива", где намеренно сделано по меньшей мере четырнадцать ошибок в перспективе.

                  Мадонна с младенцем. 1025 год.

                  Питер Брейгель. "Сорока на виселице". 1568 год.

                  Марсель Дюшамп. Рекламная картинка с кроватью невозможной конструкции.

                  Оскар Рутесвард. "Opus 1" (№293aa). 1934 год.

                  Оскар Рутесвард. "Opus 2В". 1940 год.

                  Мауриц Корнелиус Эшер. "Восхождение и спуск".

                  Роджер Пенроуз. "Невозможный треугольник". 1954 год.

                  Построение "невозможного треугольника".

                  Скульптура "Невозможный треугольник", вид с разных сторон. Она построена из криволинейных элементов и выглядит невозможной только из одной точки.

                  "Mail to" (Р1-4). Рисунок автора; тушь, карандаш. На рисунке - хорошо известный символ электронной почты @. Он сложен из реальных кирпичиков, но пересечение образованных ими линий невозможно.

                  Илл. 1. Морфологическая таблица классификации невозможных объектов.

                  Человек начинает осмотр картины с нижнего левого угла (1), затем переводит взгляд сначала к середине (2), а потом в точку 3.

                  В зависимости от направления взгляда мы видим разные объекты.

                  "Helvetia" ("Швейцария"). Рисунок автора. Компьютерная обработка.

                  Невозможный алфавит - комбинация из возможных и невозможных фигур, среди которых есть даже элемент рамки. Рисунок автора.

                  "Дверь" (Р4-1). Рисунок автора; тушь, карандаш. Комбинация из двухмерных и трехмерных объектов.

                  "Москва" (схема линий метрополитена) и "Две линии судьбы". Рисунки автора; компьютерная обработка. 2003 год. Рисунки демонстрируют новые возможности для построения схем и графиков.

                  Куб в кубе ("Три улитки"). Повернутое изображение обладает большей степенью "невозможности", чем исходное.

                  "Чертова вилка". На основе этой фигуры создано множество невозможных изображений.

                  Что мы видим - пирамиду или проем?

                  "Лабиринт (План пирамиды)". Рисунок автора; тушь, карандаш. 2003 год.

                  Немного истории

                  Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. Мы, к сожалению, никогда не узнаем, был ли этот прием сознательным поступком художника или же его ошибкой.

                  Изображения невозможных фигур, не как сознательное направление в живописи, а как приемы, усиливающие эффект от восприятия изображения, встречаются у ряда живописцев Средних веков. На полотне Питера Брейгеля (Pieter Breughel) "Сорока на виселице", созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом. На широко известной гравюре английского художника XVIII века Вильяма Хогарта (William Hogarth) "Фальшивая перспектива" показано, к какому абсурду может привести художника незнание законов перспективы.

                  В начале XX века художник Марсель Дюшамп (Marcel Duchamp) нарисовал рекламную картину "Apolinere enameled" (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники.

                  Основателем направления невозможного искусства - имп-арта (imp-art, impossible art) по праву называют шведского художника Оскара Рутесварда (Oscar Reutersvard). Первая невозможная фигура "Opus 1" (N 293aa) нарисована мастером в 1934 году. Треугольник составлен из девяти кубиков. Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру "Opus 2B", представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков. Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.

                  Этот же художник создал и прототип "невозможной лестницы" (1950). Самую известную классическую фигуру "Невозможный треугольник" английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) сотворил в 1954 году. Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности.

                  В 1958 году Роджер Пенроуз опубликовал статью о невозможных фигурах в "Британском журнале психологии". Статья стала первой теоретической работой в этой области и послужила толчком для развития и популяризации картин в стиле имп-арта.

                  Наиболее известным художником имп-арта стал М. К. Эшер (M. C. Escher). Среди наиболее известных его произведений - картины "Водопад" ("Waterfall") (1961) и "Восхождение и спуск" ("Ascending and Descending"). Художник использовал эффект "бесконечной лестницы", открытый Рутесвардом и в дальнейшем дополненный Пенроузом. На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.

                  Немного геометрии

                  Существует множество способов создания оптических иллюзий (от латинского слова "iliusio" - ошибка, заблуждение - неадекватное восприятие предмета и его свойств). Одним из наиболее эффектных является направление имп-арта, основанное на изображениях невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире. Классическая, как уже говорилось, и одна из самых простых подобных фигур - невозможный треугольник. Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру (см. рисунок), но наталкивается на несоответствие.

                  С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, образуют замкнутую фигуру!

                  Процесс восприятия невозможных объектов делится на два этапа: опознание фигуры как трехмерного объекта и осознание "неправильности" объекта и невозможности его существования в трехмерном мире.

                  Существование невозможных фигур

                  Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги - это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (трехмерных объектов). Существует множество способов их создания. Один из них - использование кривых линий в качестве сторон невозможного тре-угольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута - создан реальный "невозможный " объект.

                  О пользе имп-арта

                  Оскар Рутесвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" (есть русский перевод) об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать приема в различного рода российских бюрократических и иных заведениях, можно предположить, что невозможные картины на стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей и тем самым снижая социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись.

                  Использование феномена восприятия

                  Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? "Невозможнее" ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.

                  Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая "степень невозможности". Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.

                  Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность - повернутая картинка обладает большей "степенью невозможности", чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать "правильное" изображение.

                  Комбинации, комбинации

                  Существует группа невозможных объектов, скульптурная реализация которых невозможна. Самая, пожалуй, известная из них - "невозможный трезубец", или "чертова вилка" (Р3-1). Если внимательно присмотреться к объекту, можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на общем основании, приводя к конфликту восприятия. Мы сравниваем число зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. На основе "вилки" создано великое множество невозможных объектов, в том числе таких, где цилиндрическая на одном конце деталь становится квадратной на другом.

                  Помимо этой иллюзии существует много других видов оптических обманов зрения (иллюзии размера, движения, цвета и т.д.). Иллюзия восприятия глубины - одна из самых давнишних и известных оптических иллюзий. К этой группе принадлежит куб Неккера (1832), а в 1895 году Арманд Тьерри (Armand Thiery) опубликовал статью об особом виде невозможных фигур. В этой статье впервые нарисован объект, впоследствии получивший имя Тьерри и бесчисленное множество раз использованный художниками оп-арта. Объект состоит из пяти одинаковых ромбов со сторонами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз - верхний куб со стенками внизу.

                  Самая простая фигура из Тьерри-подобных - это, по-видимому, иллюзия "пирамида-проем" , представляющая собой правильный ромб с линией посередине. Нельзя сказать точно, что мы видим - пирамиду, возвышающуюся над поверхностью, или проем (впадину) на ней. Этот эффект использован в графике "Лабиринт (План пирамиды)" 2003 года. Картина получила диплом на международной математической конференции и выставке в Будапеште в 2003 году "Ars(Dis)Symmetrica'03". В работе использованы сочетания иллюзии восприятия глубины и невозможных фигур.

                  В заключение можно сказать, что направление имп-арт как составная часть оптического искусства активно развивается, и в ближайшее время нас, несомненно, ожидают новые открытия в этой области.

                  ЛИТЕРАТУРА

                  Рутесвард О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат, 1990.

                  Сайт В. Алексеева www.impworld.narod.ru.

                  Сайт Д. Ракова www.rakov.de.

                  Подписи к иллюстрациям

                  Илл. 1. Таблица, построенная автором статьи, не претендует на полноту и строгий порядок, но дает возможность оценить все многообразие невозможных фигур. В таблице более 300 тысяч комбинаций различных элементов. В качестве иллюстраций использована графика автора статьи и материалы сайта Влада Алексеева.

                  Комментарии

                  *Под таким названием журнал вот уже без малого сорок лет публикует рисунки всяческих невозможных фигур и объектов. См. "Наука и жизнь" №№ 5, 8, 1969 г.; № 2, 1970 г.; № 1, 1979 г.; № 10, 1986 г.; № 11 1989 г.; № 8, 1994 г.

                  www.nkj.ru