Построение фигур одним росчерком карандаша. Рисование простых фигур одним росчерком


Построение фигур одним росчерком карандаша

Разделы: Математика, Внеклассная работа

I. Постановка проблемной ситуации.

Наверное, все помнят с детства, что очень популярна была следующая задача: не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “открытый конверт”:

Попробуйте нарисовать “открытый конверт”. Как вы видите, что у некоторых получается, а у некоторых нет. Почему это происходит? Как правильно рисовать, чтобы получилось? И для чего она нужна? Чтобы ответить на эти вопросы, я расскажу вам, один исторический факт.

Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: “можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?”.

Попробуйте и вы, может у кого-нибудь получится.

В 1735 году эта задача стала известна Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил, что такого пути нет, т. е. доказал, что эта задача неразрешима. Конечно, Эйлер решил не только задачу о кенигсбергский мостах, а целый класс аналогичных задач, для которых разработал метод решения. Можно заметить, что задача состоит в том, чтобы по карте провести маршрут – линию, не отрывая карандаша от бумаги, обойти все семь мостов и вернуться в начальную точку. Поэтому Эйлер стал рассматривать вместо карты мостов схему из точек и линий, отбросив мосты, острова и берега, как не математические понятия. Вот что у него получилось:

А, В – острова, M, N – берега, а семь кривых – семь мостов.

Теперь задача такая – обойти контур на рисунке так, чтобы каждая кривая проводилась ровно один раз. В наше время такие схемы из точек и линий стали называть графами, точки называют вершинами графа, а линии – ребрами графа. В каждой вершине графа сходится несколько линий. Если число линий четно, то вершина называется четная, если число вершин нечетно, то вершина называется нечетной.

Докажем неразрешимость нашей задачи. Как видим, в нашем графе все вершины нечетные. Для начала докажем, что, если обход графа начинается не с нечетной точки, то он обязательно должен закончится в этой точке

Рассмотрим для примера вершину с тремя линиями. Если мы по одной линии пришли, по другой вышли, и по третьей опять вернулись. Все дальше идти некуда ( ребер больше нет). В нашей задаче мы сказали, что все точки нечетные, значит, выйдя из одной из них, мы должны закончить сразу в трех остальных нечетных точках, чего не может быть. До Эйлера ни кому в голову не приходило, что головоломка о мостах и другие головоломки с обходом контура, имеет отношение к математике. Анализ Эйлера таких задач “является первым ростком новой области математики, сегодня известной под названием топология”.

Топология – это раздел математики, изучающий такие свойства фигур, которые не меняются при деформациях, производимых без разрывов и склеивания. Например, с точки зрения топологии, круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой, так как можно деформировать одну в другую, а вот кольцо к ним не относится, так как, чтобы его деформировать в круг, необходима склейка.

II. Признаки вычерчивания графа.

1. Если в графе нет нечетных точек, то ее можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места. 2. Если в графе две нечетные вершины, то ее можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, причем вычерчивать нужно начинать в одной нечетной точке, а закончить в другой. 3. Если в графе более двух нечетных точек, то ее нельзя начертить одним росчерком карандаша.

Вернемся к нашей задаче с открытым конвертом. Подсчитаем количество четных и нечетных точек: 2 нечетные и 3 четные, значит, эту фигуру можно начертить одним росчерком, причем начать нужно в нечетной точке. Попробуйте, теперь у всех получилось?

Закрепим полученные знания. Определите, какие фигуры можно построить, а какие нельзя.

а) Все точки четные, поэтому эту фигуру можно построить, начиная с любого места, например:

б) В этой фигуре две нечетные точки, поэтому ее можно построить не отрывая, карандаша от бумаги, начиная с нечетной точки. в) В этой фигуре четыре нечетные точки, поэтому ее нельзя построить. г) Здесь все точки четные, поэтому ее можно построить, начиная с любого места.

Проверим, как вы усвоили новые знания.

III. Самостоятельная работа по карточкам с индивидуальными заданиями.

Задание: проверить, можно ли совершить прогулку по всем мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. И если можно, то нарисовать путь.

IV. Итоги занятия.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Занятие спец. курса по математике "Построение фигур одним росчерком пера" (5 класс)

Построение фигур одним росчерком пера

1. Постановка проблемной ситуации. Начертите одним росчерком фигуры изображенные на доске. hello_html_3915ed90.png

- какие из фигур вам удалось вычертить почти сразу, решение других пришло через время, а третьи вообще не рисуются. Почему так происходит? Давайте разберемся вместе.

Для решения задач, подобных этой, существуют признаки, по которым заранее несложно установить, можно ли данную фигуру начертить одним росчерком или нет. Если можно, то с какой точки следует начи­нать вычерчивание? Изучением этих признаков и их обоснованием занимается наука топология.

Топология - раздел математики, изучающий та­кие свойства фигур, которые не меняются при лю­бых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.

С точки зрения топологии, например, полноторий, круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свой­ствами и являются по сути одной и той же фигурой.

- Начертите в тетрадке сеть кривых (показываю начерченные на другом крыле доски фигуры).

hello_html_m67954fc0.png

Сеть таких кривых называют графом. Условимся точки, в которых соединяются кривые, называть узлами. На первом графе, пять узлов, причем три из них четные (первый, второй и третий- в них соединяются четное число линий), а два из них нечетные. Эту фигуру можно начертить одним росчерком. Попробуйте. Условимся называть точки, в которых сходится чет­ное количество линий, четными, а точки, в которых схо­дится нечетное число линий, - нечетными. Например, у «открытого конверта» две нижние вершины являются нечетными, а остальные - четные.

А другая фигура- домик с дверью, содержит 9 узлов, пять из которых четные, а четыре- нечетные. Вывод: Если в фигуре( на графе) больше двух нечетных узлов, то ее нельзя нарисовать одним росчерком!

Получаем следую­щие

признаки вычерчивания фигур одним росчерком:

а) если нечетных точек в фигуре нет, то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любого места;

б) если в фигуре две нечетные точки (если фигура имеет нечетную точку, то она всегда имеет и вторую нечетную точку), то ее можно начертить од­ним росчерком, начав вычерчивание в одной из нечетных точек и закончив в другой;

в) если в фигуре более двух нечетных точек, то ее нельзя вычертить одним росчерком.

Например, «открытый конверт» можно начертить непрерывной линией, т. е. не отрывая карандаша от бумаги, так как у него две нечетных вершины; начи­нать вычерчивание необходимо в одной из нечетных вершин.

3. Упражнения на закрепление а) Вычерчивание фигур

1). Определите, какие из фигур, изображенных на рис. 2 можно начертить, не отрывая карандаш, от бумаги (и не проводя по одной линии дважды).

Ответ: а) можно, б) нельзя, в) можно, г) можно, д) можно, е) можно, ж) можно.

hello_html_m4ce72ddb.gifhello_html_5e074b38.gifhello_html_6c336178.gifhello_html_m3ea87beb.gifhello_html_13437669.gif

а)

б)

г)

hello_html_427d7afa.gif

в)

е)

ж)

hello_html_m695ff3c.gifhello_html_233878c6.gifhello_html_765bbf44.gif

д)

Рис. 2

2). Нарисуйте те фигуры (см. рис. 2), которые мож­но начертить одним росчерком.

б) Решение задач

3). Только что приобретенные вами знания имеют порой любопытное применение. Великий математик Л. Эйлер в 1736 г. занимался решением такой своеоб­разной задачи:

В Кенигсберге река, омывающая два острова, де­лится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов (рис. 3). Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?

hello_html_66bda259.gif

Покажем это на примере одной известной задачи-задачи о кенигсбергских мостах, которая положила начало ЗАДАЧАМ НА ВЫЧЕРЧИВАНИЕ ФИГУР ОДНИМ РОСЧЕРКОМ.

Город Кенигсберг был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Различные части города были соеденены семью мостами.9показываю ребятам на большой таблице рисунок)Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку? Долго бы спорили жители города, если бы через Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он и разрешил спор.

Учитель: И так, что вы сегодня узнали? ( ученики отвечают о каких топологических объектах они получили представление: лист Мебиуса, задачи одного росчерка).

Решение.

Составим схему к решению задачи (рис.4). Из рисунка видно, что у полученной фигуры четыре нечетные вершины, следовательно, ее нельзя построить, не пройдя по одной линии дважды, а значит, нельзя пройти по мостам так, чтобы не пройти по одному и тому же два раза.

hello_html_6267ef28.gif

Рис. 4

Возможно рассуждал так.(показываю на таблице)

К восточному острову(рис.2) ведут три моста. Если прогулка начинается вне восточного острова, то, поскольку по каждому из трёх мостов можно пройти один раз, кончаться она должна на этом же острове.(это можно сравнить с выключением настольной лампы. Если поначалу вилка была вынута то после трех операций (вставить, вынуть и опять вставить вилку) вилка окажется в розетке и свет будет включен. К западному острову (рис.3) ведут 5 мостов, а 5 как и 3- число нечетное. Значит, поскольку прогулка начинается вне западного острова, оканчивается она на западном острове.

Но и на южный, и на северный берег также ведут по три моста, и к ним применимо то же рассуждение. И так, на каком бы из четырех участков суши не начиналась прогулка, заканчивается она обязана на каждом из трех других участков. Но это значит, что «кенигсбергская прогулка» невозможна, так как ее нельзя закончить в нескольких местах сразу.

План города для решения этой задачи можно изобразить графом (показываю на черченный на доске граф).На этом графе четыре узла( они соответствуют берегам C и В и островам А и Д) и семь кривых, которые обозначают мосты a, b, c, d, e, f, g. Если бы существовал искомый маршрут , то эту сеть кривых можно было бы вычертить одним росчерком. А решение задачи о мостах доказывает приведенное нами условие « одного росчерка».

4hello_html_27a88fe8.gif). Решите задачу с девятью мостами, аналогичную предыдущей по условию и требованию (рис 5).

Рис. 5

Решение.

Составим схему, аналогичную предыдущей задаче (рис. 6). Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить, не отрывая карандаша от бумаги, а значит, можно пройти по мостам, не пройдя по одному и тому же два раза, начиная, например, с одного из мостов островка Е.

hello_html_m72d6443.gifhello_html_26e75d02.gifhello_html_m5c591a02.gifhello_html_m78a99a0a.gifhello_html_m78948ca8.gifhello_html_m67a06158.gifhello_html_6afdb4d7.gifhello_html_m7306532c.gifhello_html_1bdd468a.gifhello_html_m5abbcb7.gifhello_html_355a36e5.gifhello_html_m5b139c85.gifhello_html_m310fc080.gifhello_html_25f3905e.gif

А

В

С

D

E

Рис.6

2). Через реку, омывающую шесть островов, переки­нуто семнадцать мостов (рис. 8). Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более одного раза?

hello_html_m2f7d153a.gif

A

С

D

B

G

Е

Н

F

Решение.

Составим схему (рис. 9). Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить одним росчерком карандаша, а значит, можно пройти по всем мостам, побывав на каждом из них не более одного раза, начиная, например, с моста на острове В.

hello_html_m65e1e7ac.gif

4. Домашняя работа

1). Начертить фигуры, изображенные на рис. 7, одним росчерком карандаша (там, где это возможно), предварительно оп­ределив, возможно ли это.

hello_html_4b19b4a4.gifhello_html_m56e2c9de.gifhello_html_2993b227.gifhello_html_m77dca88.gif

hello_html_45d2276e.gifhello_html_m77dca88.gifhello_html_2993b227.gifhello_html_m50f51bde.gif

hello_html_m7838ccb8.gifhello_html_44f0f789.gif

б)

в)

а)

Рис. 7

Ответ: а) Можно; б) можно; в) можно.

infourok.ru

Научная работа "Одним росчерком"

Министерство образования Республики Беларусь

Калинковичский районный отдел образования

Государственное учреждение образования

«Средняя общеобразовательная школа №3 г.Калинковичи»

Научно-исследовательская работа

по математике

ТЕМА:

«ОДНИМ РОСЧЕРКОМ»

Выполнили учащиеся

8 «А» класса:

Исаенкова Е.,

Змушко С.,

Капитан А.

Руководитель Булавко Е.В.

г. Калинковичи 2010 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель работы и ее задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Описание работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Заключение . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Цели и задачи:

- придумать и построить фигуры, одни из которых можно изобразить одним росчерком пера, а другие нет;

- выявить закономерность;

- на основе выявленной закономерности решить знаменитую задачу Гамильтона.

3

В ходе исследовательской работы

мы хотим:

- научиться нестандартно смотреть на поставленную задачу;

- научиться искусству применения математических идей и методов к решению практических и теоретических задач;

- научиться применять математические приемы даже к тем вопросам, в которых использование математики поначалу кажется просто невозможным.

4

… Умственную самодеятельность, сообразительность и смекалку нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме, на предметах и примерах

обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью.

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки

5

Введение

Великое искусство научиться многому – это браться сразу за немногое. Д.Локк

В своей научной работе мы рассмотрим фигуры, которые можно начертить одним росчерком, то есть не отрывая карандаша или ручки от бумаги и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

Например вот такие:

hello_html_593f5d44.png

6

Вероятно, не один человек удивится, если узнает, что он не сможет начертить таким способом обыкновенный прямоугольник или квадрат с двумя диагоналями и в то же время легко сможет нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, такую сложную фигуру, как та, которую мы приводим на рисунке.

hello_html_777b7e71.png

В чем тут дело? Как отличить такую фигуру от других, подобных ей фигур, которые нельзя начертить одним росчерком? Можно ли вообще сформулировать в этой области какие-нибудь основные правила?

Чтобы найти ответы на эти вопросы надо думать, анализировать, сравнивать результаты, оценивать.

Не сделав первого шага, нельзя научиться ходить. И мы решили сделать этот шаг вместе.

7

Описание работы

§ 1.

Великая проблема подобна драгоценному камню:

тысячи проходят мимо, пока, наконец, один не

поднимет его.

Фридрих Ницше

Реализуя задуманное , пересмотрев множество фигур мы увидели, что пятиугольник АВСДЕ легко можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, причем различными способами, например АВЕСВДСАДЕА.

hello_html_7bcfd4b6.png

8

Мы стали выяснять чем же принципиально отличается этот пятиугольник с пятью диагоналями, начерченный одним росчерком, от квадрата с двумя диагоналями, который нельзя начертить, не отрывая карандаша от бумаги ? Сразу нам бросилось, что у них разное количество сторон: чётное и нечётное. Но мы легко убедились , что в данном случае это не является принципиальной разницей, так как квадрат с одной диагональю великолепно можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. В то же время с пятиугольником, если мы начинали поочерёдно вычеркивать его диагонали, происходили очень странные вещи. Если мы оставляли четыре диагонали, его ещё можно было начертить одним росчерком, то же самое и при трех диагоналях; при двух же диагоналях пятиугольник уже нельзя было начертить одним росчерком, но это не мешало тому, что если мы вычёркивали ещё одну диагональ, то его снова можно было начертить одним обходом карандаша.

Эти преобразования натолкнули наше внимание на предположение, что возможность начертить фигуру одним росчерком зависит от узлов, в которых сходятся линии, точнее говоря, от того, являются ли эти узлы четными или же нечетными. При этом четным называется узел, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное. Это предположение оказалось верным.

И мы вывели общее правило.

Фигуру можно начертить одним росчерком, если все её узлы являются четными или если фигура содержит не более чем два нечетных узла.

9

Из вышеуказанного правила нелегко сделать какие-нибудь практические выводы, как именно следует вычерчивать подобные фигуры. Но один момент мы все-таки увидели: если в данной фигуре существуют нечетные узлы, то успешный росчерк должен начинаться в одном из них.

Мы увлеклись такими рисунками. И вот какие интересные фигуры у нас получились.

hello_html_3f1d9806.png

10

hello_html_m72b7b457.jpg

hello_html_74f8edc.jpg

hello_html_6e3ee65e.jpg

hello_html_m1882f38c.jpg

12

hello_html_m4101fc85.jpg

hello_html_m3f59a7dc.jpg

hello_html_457bad6d.jpg

hello_html_1150378f.jpg

14

Мы покажем решения трех фигур.

hello_html_m7245538e.jpg

15

hello_html_m361a25e4.jpg

16

hello_html_m511b153c.jpg

Этот рисунок представляет собой знаменитую подпись Магомета, которую он высекал четырьмя взмахами кинжала или сабли.

17

§ 2.

Чтобы дойти до цели, надо прежде

всего идти.

Оноре де Бальзак

Кроме задач, в которых требуется зачертить одним обходом карандаша уже нарисованную фигуру, мы рассматривали задачи, несколько отличные по форме, но аналогичные по содержанию.

Например: разделить равнобедренный треугольник непрерывной линией на 9 равных частей, не проводя более одного раза по одной и той же линии и не пересекая ни одной из них.

Нам кажется, что решение, которое мы приводим не требует дальнейших пояснений.

Решение:

hello_html_36c196ea.png

18

§ 3.

Опыт – вот учитель жизни вечной.

И.Гёте

В тесной связи с задачами на фигуры, которые можно начертить одним росчерком, мы считаем, находится знаменитая задача Гамильтона, известная под названием «путешествие по двенадцатиграннику», которую мы встретили, выполняя научную работу.

Историческая справка.

Вильям Гамильтон (1805-1865), английский математик и астроном первой половины ХIХ века, иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1837).

Построил своеобразную систему чисел – так называемые кватернионы – явившуюся одним из источников векторного исчисления.

Дал точное изложение теории комплексных чисел.

В механике дал общий принцип наименьшего действия.

Изобрел очень интересную игру, называемую путешествием по додекаэдру.

.

19

hello_html_m284d9958.jpg

Вильям Роуэн Гамильтон

20

Путешествие это заключается в том, чтобы один раз пройтись по всем наугольникам додекаэдра и вернуться к наугольнику, из которого мы вышли.

Свою работу над задачей мы начали с построения макета додекаэдра.

Сначала сделали развёртку.

hello_html_c6f1883.png

Потом вырезали ее

hello_html_ma5b452b.jpg

21

hello_html_m872be4b.jpg

и сделали макет.

hello_html_m1e192a44.jpg

22

hello_html_757f3571.jpg

hello_html_m6ffe6b53.jpg

23

При решении этой задачи перед нами встал вопрос: «Если мы вышли из какого-нибудь наугольника по его краю и приближаемся к другому наугольнику, то идти направо или налево?»

В этом и заключается суть дела.

Мы нашли два решения задачи, а точнее – две разновидности одного решения:

ПППЛЛЛПЛПЛПППЛЛЛПЛП

ИЛИ

ЛЛЛПППЛПЛПЛЛЛПППЛПЛ.

Буква П означает поворот направо, Л - налево.

Если макета двенадцатигранника нет под рукой, то можно совершить это путешествие по данной схеме согласно такому расписанию движения:

GFBAUTPONCDEJKLMQRSHG

ИЛИ

GFBAUTSRKLMQPONCDEJHG.

24

hello_html_649d44d7.jpg

25

Заключение

Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случаев делать

его немного занимательным.

Б.Паскаль

Если же кто-нибудь все-таки предложит нам зачертить одним обходом карандаша квадрат с двумя диагоналями, что, как мы указывали, невыполнимо, то мы ответим следующей шуткой.

Пусть лист бумаги обозначает прямоугольник KLMN; на этом листе должен быть начерчен квадрат. Согнем лист бумаги по линии PQ. Затем проводим частично на правой стороне, а частично на левой стороне листа линию АС, далее на левой стороне линию CD и снова частично на левой, частично на правой стороне линию DF. После этого мы расправляем лист бумаги и к оставшимся на правой стороне листа линиям АВ и EF одним обходом карандаша легко дочерчиваем линии AE, EB, BF и FA.

hello_html_1f78a2f8.jpg

hello_html_3dd40337.jpg

hello_html_3459c1e0.jpg

Выводы

Если ты будешь любознательным, то

будешь многознающим.

Сократ

Чтобы не знать скуки, легко решать школьные проблемы, учиться с интересом, надо развивать свои умственные и творческие способности, расширять кругозор, будить фантазию и воображение. Но это не произойдет само по себе. Надо потрудиться и после уроков, попытаться занять себя увлекательным и содержательным делом.

Математические задачи способствуют развитию любознательности, познавательной активности, творческого воображения. Мы учимся добывать новые знания, рассуждать, логически мыслить, делать самостоятельные выводы, искать нестандартные пути решения задач, преодолевать трудности и добиваться успеха.

Математика обладает потенциалом для формирования таких видов мышления, как конструкторское, пространственное, парадоксальное, творческое. Этот потенциал математики мы и стремились использовать в данной работе.

Знания , приобретенные нами в ходе исследовательской работы, с обывательской точки зрения могут показаться ненужными, но именно эти кажущиеся лишними и избыточными знания делают человека ЧЕЛОВЕКОМ. Они указывают на то, как мир сложен, многослоен и как мало нами изучен, на то, что человеку следует быть готовым к непредвиденному развитию событий или творчеству.

28

Что дальше?

Елена Викторовна рассказала нам, что многое из наших рисунков являются важными математическими объектами – графами.

С графами можно встретиться в любой области науки и техники.

В электротехнике – при построении схем, в химии и биологии – при изучении молекул и их цепочек, в экономике –при решении задач о выборе оптимального пути для потоков грузового и пассажирского транспорта. С теорией графов связаны математические развлечения и головоломки и такие серьезные разделы математической науки, как теория групп.

Задачи, решения которых основаны на теории графов, часто бывают на математических олимпиадах. Поэтому мы не остановимся на достигнутом и в следующем году займемся исследованием «Теории графов»

29

Литература

1. Акулич И.Ф. Задачи на засыпку и другие математические сюрпризы.: Пособие для учителя. – Мн: ООО «Асар», 2000.

2. Болтянский В., Савин А. Информация и математика // Квант, 1995, №6.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

4. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1991.

5. Еленьский Щ. По следам Пифагора. – М.: Детгиз, 1961.

6. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1978.

7. Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сборник статей под ред. П.Старатилова. – М.: Учпедгиз, 1955.

8. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. Для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1992.

9. Нагибин Ф.Ф., Канин С.Е. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.

10. Никитин Ю.З. Спутник досуга: Календарь игр. – Мн: Полымя, 1989.

11. Поддьяков А.Н. Исследовательское поведение. Стратегии познания, помощь, противодействие, конфликт. – М., 2000.

30

Защита

Тема нашей научно – исследовательской работы «Одним росчерком»

В ходе исследования мы поставили перед собой следующие цели и задачи

- придумать и построить фигуры, одни из которых можно изобразить одним росчерком пера, а другие нет;

- выявить закономерность;

- на основе выявленной закономерности решить знаменитую задачу Гамильтона.

В своей научной работе мы рассматривали фигуры, которые можно начертить одним росчерком, то есть не отрывая карандаша или ручки от бумаги и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

Например вот такие:

Вероятно, не один человек удивится, если узнает, что он не сможет начертить таким способом обыкновенный прямоугольник или квадрат с двумя диагоналями и в то же время легко сможет нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, такую сложную фигуру, как та, которую мы приводим на рисунке.

В чем тут дело? Как отличить такую фигуру от других, подобных ей фигур, которые нельзя начертить одним росчерком? Можно ли вообще сформулировать в этой области какие-нибудь основные правила?

Чтобы найти ответы на эти вопросы надо думать, анализировать, сравнивать результаты, оценивать.

Не сделав первого шага, нельзя научиться ходить. И мы, ученики 8 «А» класса ГУО «СОШ №3 г.Калинковичи» Исаенкова Екатерина, Капитан Алеся и Змушко Сергей . решили сделать этот шаг вместе.

Реализуя задуманное , пересмотрев множество фигур мы увидели, что пятиугольник АВСДЕ легко можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, причем различными способами, например АВЕСВДСАДЕА.

Мы стали выяснять чем же принципиально отличается этот пятиугольник с пятью диагоналями, начерченный одним росчерком, от квадрата с двумя диагоналями, который нельзя начертить, не отрывая карандаша от бумаги ? Сразу нам бросилось, что у них разное количество сторон: чётное и нечётное. Но мы легко убедились , что в данном случае это не является принципиальной разницей, так как квадрат с одной диагональю великолепно можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

В то же время с пятиугольником, если мы начинали поочерёдно вычеркивать его диагонали, происходили очень странные вещи. Если мы оставляли четыре диагонали, его ещё можно было начертить одним росчерком, то же самое и при трех диагоналях; при двух же диагоналях пятиугольник уже нельзя было начертить одним росчерком, но это не мешало тому, что если мы вычёркивали ещё одну диагональ, то его снова можно было начертить одним обходом карандаша.

Эти преобразования натолкнули наше внимание на предположение, что возможность начертить фигуру одним росчерком зависит от узлов, в которых сходятся линии, точнее говоря, от того, являются ли эти узлы четными или же нечетными. При этом четным называется узел, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное. Это предположение оказалось верным.

И мы вывели общее правило.

Фигуру можно начертить одним росчерком, если все её узлы являются четными или если фигура содержит не более чем два нечетных узла.

Мы увлеклись такими рисунками. И вот какие интересные фигуры у нас получились.

Мы покажем решения трех фигур.

Этот рисунок представляет собой знаменитую подпись Магомета, которую он высекал четырьмя взмахами кинжала или сабли.

В тесной связи с задачами на фигуры, которые можно начертить одним росчерком, мы считаем, находится знаменитая задача Гамильтона, известная под названием «путешествие по двенадцатиграннику», которую мы встретили, выполняя научную работу.

Путешествие это заключается в том, чтобы один раз пройтись по всем наугольникам додекаэдра и вернуться к наугольнику, из которого мы вышли.

Свою работу над задачей мы начали с построения макета додекаэдра

Сначала сделали развёртку.

Потом вырезали ее

и сделали макет.

При решении этой задачи перед нами встал вопрос: «Если мы вышли из какого-нибудь наугольника по его краю и приближаемся к другому наугольнику, то идти направо или налево?»

В этом и заключается суть дела.

Мы нашли два решения задачи, а точнее – две разновидности одного решения:

Буква П означает поворот направо, Л - налево.

Если же кто-нибудь все-таки предложит нам зачертить одним обходом карандаша квадрат с двумя диагоналями, что, как мы указывали, невыполнимо, то мы ответим следующей шуткой.

Согнем лист бумаги. Затем проводим частично на правой стороне, а частично на левой стороне листа линию , далее на левой стороне линию и снова частично на левой, частично на правой стороне линию. После этого мы расправляем лист бумаги и оставшиеся на правой стороне листа линии одним обходом карандаша легко дочерчиваем до квадрата с двумя диагоналями.

Математика обладает потенциалом для формирования таких видов мышления, как конструкторское, пространственное, парадоксальное, творческое. Этот потенциал математики мы и стремились использовать в данной работе.

В ходе исследовательской работы мы :

- научились нестандартно смотреть на поставленную задачу;

- научились искусству применения математических идей и методов к решению практических и теоретических задач;

- научились применять математические приемы даже к тем вопросам, в которых использование математики поначалу кажется просто невозможным.

Знания , приобретенные нами в ходе исследовательской работы, с обывательской точки зрения могут показаться ненужными, но именно эти кажущиеся лишними и избыточными знания делают человека ЧЕЛОВЕКОМ. Они указывают на то, как мир сложен, многослоен и как мало нами изучен, на то, что человеку следует быть готовым к непредвиденному развитию событий или творчеству.

www.metod-kopilka.ru

Одним росчерком пера. Иллюстрации Ty Wilson: vakin

Афроамериканский художник Ty Wilson - универсален, поскольку его работы идеально подходят в качестве шаблонов для росписи по стеклу, схем для вышивки, в качестве открыток, плакатов и т.д. Одним-двумя росчерками пера он умеет нарисовать то, для чего другим требуется гораздо больше штрихов, линий и красок. А все началось с... обмана в детском саду. Мальчик принес в класс рисунок синей птицы, нарисованный его братом, и выдал его за свою работу. Тогда учительница попросила нарисовать такую же птицу прямо в классе. И стоя перед нетронутым листом белой бумаги с карандашом в руке, Тай Уилсон поклялся себе никогда больше не лгать и непременно научиться рисованию. Сказано - сделано.

Источник - rndnet.ru

vakin.livejournal.com

Одним росчерком пера - Математика - Каталог файлов

Как нарисовать фигуру, не отрывая руки

Математик Леонард Эйлер однажды задумался над вопросом, можно ли перейти через все мосты в том городе, где он тогда жил, так, чтобы ни через один мост не проходить дважды? Этот вопрос положил начало новой увлекательной задаче: если дана геометрическая фигура, как начертить ее на бумаге одним росчерком пера, не проводя дважды ни одну линию?

Инструкция

1

1. Фигура, которую можно начертить одной линией, не отрывая руку от бумаги, называется уникурсальной. Далеко не все геометрические фигуры обладают этим свойством.

2

2. Предполагается, что заданная фигура состоит из точек, соединенных прямыми или искривленными отрезками. Следовательно, в каждой такой точке сходится определенное число отрезков. Такие фигуры в математике принято называть графами.

3

3. Если в точке сходится четное число отрезков, то и саму такую точку называют четной вершиной. Если число отрезков нечетное, то вершина называется нечетной. Например, квадрат, в котором проведены обе диагонали, обладает четырьмя нечетными вершинами и одной четной — в точке пересечения диагоналей.

4

4. У отрезка по определению два конца, и следовательно, он всегда соединяет две вершины. Поэтому, просуммировав все входящие отрезки для всех вершин графа, можно получить только четное число. Следовательно, каков бы ни был граф, нечетных вершин в нем всегда будет четное количество (в том числе ноль).

5

5. Граф, в котором вовсе нет нечетных вершин, всегда можно начертить, не отрывая руки от бумаги. При этом все равно, с какой вершины начинать.6. Если нечетных вершин всего две, то такой граф тоже уникурсален. Путь обязательно должен начинаться в одной из нечетных вершин, а закончиться — в другой из них.

7. Фигура, в которой нечетных вершин четыре или больше, не уникурсальна, и без повторений линий начертить ее не удастся. Например, тот же квадрат с проведенными диагоналями не уникурсален, так как у него четыре нечетных вершины. Но квадрат с одной диагональю или «конверт» — квадрат с диагоналями и «крышечкой» — можно начертить одной линией.

6

8. Чтобы решить задачу, нужно представить, что каждая проведенная линия исчезает из фигуры — второй раз по ней пройти нельзя. Следовательно, изображая уникурсальную фигуру, нужно следить, чтобы оставшаяся часть работы не распадалась на не связанные между собой части. Если такое случится, довести дело до конца уже не получится

 

 

kolesnikovaoa.ucoz.ru


Смотрите также